线性代数——行列式有关

行列式

行列式，是方阵的一种运算，对于方阵 \(A\)，\(\text{det}A\) 表示方阵 \(A\) 的行列式。

前置知识：置换，逆序数，初等变换

逆序数就是一个数列里逆序对的总数。

定义

手动计算较低阶的行列式可以采用这种方法，它的时间复杂度为阶乘量级。

使用记号 \(\pi(j_{1},j_{2}\ldots j_{n})\) 表示排列 \(j_{1},j_{2}\ldots j_{n}\) 的逆序数。

\[\text{det}A=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots& \vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix} \]

同时也可以用 \(|A|\) 来表示行列式 \(A\)。

\[|A|=\sum_{p\in S_{n}}^{}\sigma(p)\prod_{i=1}^{n}a_{i,p_{i}} \]

其中当 \(p\) 为奇排列时 \(\sigma(p)=-1\)，偶排列时 \(\sigma(p)=1\) 。

据某位数竞大佬说这个定义奇奇怪怪的，但后面没啥用，一般都是用到他很好用的性质。

行列式的计算

零阶（？

定义 \(\begin{vmatrix}&\end{vmatrix}=1\)

一阶的行列式只有一个元素，此行列式的值为元素本身。

\[\begin{vmatrix} a_{11} \end{vmatrix}=a_{11} \]

二阶的行列式比较常见，下面是计算公式。

\[|A|=\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}=ad-bc \]

是不是很熟悉？初中或者小学会给你这个公式让你计算这个行列式，只不过他说的是定义一种运算，而这个运算是存在的。

三阶的计算公式需要转为二阶，具体下面会讲解。

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}- a_{21}\begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}+ a_{31}\begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23} \end{vmatrix} \]

这里需要引入一些新的概念来帮助理解。

代数余子式

在 \(n\) 阶行列式 \(\text{det}A\) 中，任意取定 \(k\) 行和 \(k\) 列。位于这些行列相交处的元素构成的 \(k\) 阶行列式叫做该行列式的 \(k\) 阶子式。

对于 \(n\) 阶行列式 \(\text{det}A\)，某一元素 \(a_{ij}\) 的余子式 \(M_{ij}\) 指的是行列式中，划去 \(a_{ij}\) 所在的行和列后，余下的 \(n-1\) 阶子式。

对于 \(n\) 阶行列式 \(\text{det}A\)，元素 \(a_{ij}\) 的余子式 \(M_{ij}\) 附加符号 \((-1)^{i+j}\) 之后，叫做元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式，用符号 \(A_{ij}\) 表示。

• 定理：若在一个 \(n\) 阶行列式 \(\text{det}A\) 中，第 \(i\) 行或第 \(j\) 列的元素除了 \(a_{ij}\) 都是 \(0\)，那么这个行列式等于 \(a_{ij}\) 和他的代数余子式的乘积。

也就是由于上面的定理，我们把三阶的转化为了二阶的行列式，然后就便于计算了。

同理我们是可以得到更高阶的式子，可以利用递推或递归实现。

行列式性质

• 把一个行列式的某一行或某一列的所有元素同时乘以一个数 \(k\)，等于用 \(k\) 乘这个行列式。

• 交换一个行列式的两行或两列，行列式改变符号。

• 把行列式的某一行或某一列的元素乘以同一数后加到另一行或另一列的对应元素上，行列式不变。

• 一个行列式中某一行或某一列的公因子可以提到行列式符号的外边。

• 如果一个行列式的某一行或某一列的元素全部是 \(0\)，那么这个行列式等于 \(0\)。

• 如果一个行列式有两行或两列的对应元素成比例，那么这个行列式等于 \(0\)。

• 如果一个行列式有两行或两列完全相同，那么这个行列式等于 \(0\)。