减法器的设计与实现并用译码器显示16、10进制

大家新年好，我是呼噜噜，在上一篇简易加法器里我们了解了半加器和全加器的设计与实现，今天我们来看下CPU中减法器是如何实现的。文章比较长，大家可以收藏反复观看

计算机为什么利用反码来实现减法？

我们来看一个最常见的例子，2-1 =1这是减法，但它等同于 2+ (-1) =1 这其实是加法。从运算逻辑上来说，减法可以通过加法来实现，这是可行的。
从硬件电路层面说，我们很容易让电子实现汇总的效果，但是将电子群拆分出多个更小的集群，是不容易的。还有一个好处是利用加法器能实现减法的效果的话，就不需要再为减法器专门设计电路了，降低了电路的复杂度。

由于计算机采用的是二进制，和我们天生熟悉的十进制还是有区别的，那么二进制能否实现用加法来实现减法效果？

很幸运地是，当初那群计算机那群工程师大拿将二进制玩的是炉火纯青，通过原码->反码->补码，一步步实现了二进制通过加法来实现减法效果。其中原理大家感兴趣地，可以看看笔者之前的一篇文章 计算机中数值和字符串怎么用二进制表示？

补码真的是一个天生完美的奇妙存在，基于补码的机制，减法可以转化为加法，也就意味着计算机可以通过加法器实现减法。

看完笔者的那篇文章，我们知道了补码产生的手动：正数原码不变，负数的符号位不变, 其余各位取反, 最后一位+1

减法器的实现

要实现原码到补码的转换，需要一个取反器，我们先来写出减法逻辑的真值表：

通过真值表，我们可以很容易发现这其实就是一个异或门(相同为0，不同为1)

我们来实现一个8位的取反器，由于是8位的，所以输入选这8位输入，还得连一个8位的分线器，输出类似。异或门得有8个，每个都需和控制是否取反的输入相连。

我们将之前的全加器和减法器结合起来，需要注意的是补码需要取反再+1，取反可以将输入和取反器相连，+1可以将全加器最低位的进位与控制取反的输入相连即可，极简单又巧妙

我们来启动模拟，看下效果：

上图计算结果，相当于：

1+1 =2
1-1 =0

但是上面有个问题是，1-1=0时，虽然灯泡是0，但是旁边的溢出标志显示溢出了，我们还需改造一下。我们这里简单地，就直接让减法不溢出即可（这种处理方式还是比较粗暴的，但是实现起来比较简单）
我们来写出溢出输入IY，是否取反输入IF(如果取反，就代表是减法操作)，溢出输出O的真值表关系

我们可以推出公式：O=非IF * IY,所以需要非门和与门

这样就减法时，就不会溢出了。但其实这个加法器只能做正数的减法(也就是输入A得大于等于输入B)，如果最后结果为负数的，还是有bug的。我们后面有机会再优化

7段数码管16进制显示

由于用灯泡表示二进制，每次得出的结果，还要我们去换算成10进制，非常不直观，我们接下来利用数码管，来将二进制数"翻译"成10进制数。

我们这边利用的是7段数码管来实现的，数码管其实就是多个LED灯，不同的位控制不同的LED。从第0位到第7位，通过控制不同的LED来组合出数字。第7位比较特殊，数码管显示的是点

我们用上面的电路，一一将0~F16个数显示出来，各个开关的情况记录成下面的表：

这其实就是7段数码管的共阴极对照表，还有共阳极对照表这里我们就不展示了。

如果直接用组合电路来封装8位输入，7段数码管的16进制显示，的确是可以的，但如果是16位，32位，64位输入，电路会异常的复杂，我们这边用储存器ROM来实现这个功能

ROM只读存储器，是以非破坏性读出方式工作，它非易失性存储器，当电源被移除时，其数据内容不会被擦除，它还有个特点就是只能读出而不能写入信息，其所存的数据，一般是装入整机前事先写好的，整机工作过程中只能读出。

需要注意的是: 虽然ROM和硬盘有一些共性，但不能简单地说ROM就是硬盘

常常与ROM相比的还有一个RAM(随机存取存储器),也就是我们常说的主存，是与CPU直接交换数据的内部存储器，它的特点：随机存取、数据易失、对静电敏感、访问速度快、需要刷新。RAM在断电以后保存在上面的数据会自动消失

我们使用ROM和7段数码管来显示16进制的数0~F，选用地址位宽为4，数据位宽为8,只需把对应的数据提前写入对应的地址中即可。

这里需要注意一下，为什么我们选用地址位宽为4，数据位宽为8的ROM？

首先我们需要明白(1111 1111)2 = (f f)16, 7段数码管可以表示0~F 16进制数，我们可以用2个7段数码管并联将8位二进制数译码成16进制数。
我们就先考虑1个7段数码管和ROM的关系，单个"f"也就是第16个数，也就是说4位二进制，即4位输入，最大值为16

1. 地址位宽为4, 可以保证寻址2^4=16,分别对应十六进制下的0~F
2. 数据位宽为8，相当于2个7段数码管，一个7段数码管需要4位输入，2个就是8位输入

我们想显示16进制数，0~F，我们需要4位二进制输入，其最大值1111，就是16(F)，结合上面的共阴极对照表，我们就能总结下面的表：

根据对应关系，我们把电路和存储器相应地址数据预先填进去

我们启动模拟看下效果：

测试完成后，将4个开关换成4位输入。接着我们将2个4位16进制译码器并联，就成了8位16进制译码器，并封装一下：

并将它与上文的全加器与减法器结合起来：

nice!

7段数码管10进制显示

通过上一小节，我们成功把8位二进制数，"翻译"成16进制数，但距离我们更熟悉的十进制还是有点距离的，我们本小节继续改进7段数码管，实现10进制的译码

由于(1111 1111)2 = (255)10, 最大值为255

ROM需要8位地址位宽，2^8 = 256，确保能够将256个数（0 ~255）全部找到；255是3位数，我们至少需要3个数码管(也就是我们上一小节封装的4位16进制译码管)，1个数码管需要4位输入，所以ROM数码管的数据位宽为12

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电路实现：我们可以使用8个开关，来表示8位输入；选用8位地址位宽且数据位宽为12的ROM,通过8位3针脚的分线器和3个4位16进制译码管相连即可。

由于ROM的查找表有255个数，不能像之前一样一个个手动填写，我们可以利用Python来实现(电脑中需要有Python3的环境)。

将其另存到桌面上为test.bin文件，用vscode打开该文件（需要安装 hex editor插件来显示二进制），以小端显示：

test.py：

with open('test.bin', 'wb') as f:
    for i in range(256):
        var = str(i)
        var = int(var, base=16) //先转成16进制
        byte = var.to_bytes(2, byteorder='little')// 再转化成二进制，以显示小端
        print(byte)
        f.write(byte)

将其放到test.bin 同级目录后，直接运行命令python test,py后，test.bin就变成了：

这种55 02 其实是 255，31 02 为 231 , 像这种55 02 就是小端表示法。

将test.bin 重新加载到ROM中

我们来启动模拟看看：

我们将输入替换开关，然后封装成8位10进制译码器电路，接上之前的减法器的电路：

21选择器 增强 10进制显示

我们现在有个需求，001，前面的0不想要，就想要1，我们借助21选择器来实现 高位为零时，数码管不亮

我们先来看一下1位21选择器，首先有2个输入，分别为A和B，以及一个有效位EN，一个输出S。我们的目的是实现：有效输出A，无效输出B。根据目的我们可以写出真值表：

我们可以得出公式 S = EN与A + 非EN与B,进而可以画出电路图

封装后，模拟一下：

我们继续画出8位21选择器，只需将8个1位21选择器组合在一起：

将其封装一下，接着模拟测试：

7段数码管10进制显示增强的电路，我们再重新设计一下：

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最后把其封装一下，放到减法器和加法器的电路中，演示一下：

完美，这样就实现了我们的目的。

尾语

本文我们将上一小篇文章中的简易加法器进行来改进，通过补码，让加法器也是运算减法。接着为了让我们观察结果更加方便，我们使用了7段数码管实现了 16进制、10进制显示，最终优化了10进制显示，使其只显示有效位的数值。

本系列到目前为止主要是组合逻辑电路的相关知识，后续我们会探究时序逻辑电路的奥秘，来看看开关究竟是如何实现CPU除计算功能外另一个重要的功能"记忆功能"。

参考资料：

1. 一个8位二进制CPU的设计和实现，踌躇月光
2. 《编码：隐匿在计算机软硬件背后的语言》
3. 《穿越计算机的迷雾》
4. 深入浅出计算机组成原理，徐文浩
5. 运行内存,百度百科

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原文镜像：http://mp.weixin.qq.com/s/QXWm-s-v3VuYV7s4-uE7yA

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